Добрый день! Занимаюсь написанием работы о регулярности решения эллиптических краевых задач на выпуклых областях. В работе будет доказана следующая теорема о регулярности решения краевой задачи Пуассона на выпуклой области: Пусть ? \in \R^2 выпуклая ограниченная область. Функция f пусть принадлежит L^2(?). Рассмотрим решение u краевой задачи -Laplace u = f на ? u=0 на границе ?. Известено, что эта задача имеет единственное решение u принадлежащие пространству Соболева H_0^1. В теореме о регулярности будет доказано, что решение на такой (выпуклой) области будет принадлежать пространству Соболева H^2. Требуется разобрать «контрпример». То есть рассмотреть невыпуклую ограниченную область - круг без одной четверти; выбрать подходящую функцию f \in \L^2( ?), так чтобы можно было найти конкретное решение краевой задачи; найти это решение (с помощью Преобразования Фурье - так как мы в R^2 - рядов Фурье). И для найденного решения показать, что оно не принадлежит пространству Соболева H^2. То есть показать, что ||u||_H^2 = \infty. В последнем шаге важно разобрать, какую роль играет невыпуклость области.