Углублённая математика — работа в Липецке

Цель занятия: Требуется изучить: 1. Линейная алгебра (а) Векторы, матрицы и действия с ними. Линейная зависимость системы векторов. Базис линейного пространства. Скалярное произведение. (b) Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей. Разложение определителя по строке и по столбцу. (с) Транспонированная матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Специальные виды MQてね』・ (d) Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений. (е) Собственные числа и собственные векторы матрицы. Собственные и инвариантные подпространства. (f) Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Условие положительноё (отрицательной) определенности квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Индексы инерции квадратичных форм. 2. Математический анализ (а) Множества. Операции над множествами. Числовые множества. Грани множеств. Множества в Rn. Соответствие множеств. Счетные и несчетные множества. (b) Числовые последовательности и пределы. Свойства сходящихся последовательностей. Признаки существования предела. Первый и второе замечательные пределы. (с) Функции одной переменной. Производные. Исследование и построение графика функции. (d) Функции многих переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Градиент функции. Производная по направлению. Матрица Гессе. Безусловный экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных. Задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Условия дополняющей нежесткости. (е) Понятие о квадратичных формах. Выпуклые функции и множества. Оптимизация при наличии ограничений. Функция Лагранжа, ее стационарные точки. Метод множителей Лагранжа. (f) Неопределённый интеграл и его исчисление. Определённый интеграл. Несобственные интегралы. Кратные интегралы и их исчисление. (g) Понятие ряда и его сходимости. Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости положительных рядов. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. 3. Дифференциальные уравнения (а) Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятие решения. Поле направлений. Изоклины. Интегральные кривые. Задачи Коши. (b) Уравнения в полных дифференциалах. Метод замены переменных. Интегрирующий множитель. Уравнения Бернулли и Риккати. (с) Линеечные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод вариации постоянной. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка. (d) Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Устойчивость решения по Ляпунову. (е) Неоднородные 4. Комбинаторика (а) Основные правила комбинаторики. Правило подсчета количества комбинаторных объектов. Принцип Дирихле. Примеры. (b) Множества. Круги Эйлера, операции на множествах. Формула включений и исключений. Примеры. (с) Сочетания. Размещения, перестановки и сочетания. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Сочетания с повторениями. 5. Теория вероятностей и математическая статистика (а) Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и случайные величины. Функция плотности распределения. Совместное распределение нескольких случайных величин. Условные распределения. (b) Характеристики распределений случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, ковариация). Свойства математического ожидания и дисперсии. Условное MalCMdrnHCCnOC ожидание. Распределение дискретных случайных величин (биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, распределение Пуассона). (с) Нормальное распределение и связанные с ним х -распределение, основные свойства. (d) Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение и выборочные характеристики (среднее, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции). (е) Статистическое оценивание. Точечные оценки. Линейность, несмещенность, Эффективность и состоятельность оценок. Интервальные оценки, доверительные интервал. Метод моментов и метод максимального правдоподобия для точечной оценки параметров распределения. (f) Статистические выводы и проверка статистических гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень доверия и проверка значимости. (g) Линейная регрессионная модель для случая одной объясняющей переменной. Метод наименьших квадратов (МНК). Теорема Гаусса-Маркова. Предположение о нормальном распределении случайной ошибки в рамках классической линейной регрессии и его следствия. Множественная линейная регрессия. Проверка статистических гипотез о статистической значимости коэффициентов регрессии (t-тест) и всей регрессии в целом (F-тест). Проверка гипотез о линейном ограничении на коэффициенты регрессии. 6. Дискретная математика (а) Бинарные отношения и их свойства (рефлексивность, транзитивность, симметричность). Отношение эквивалентности. Отношение порядка. (b) Понятия алгоритма и сложности алгоритма. Простые структуры данных: массив, список, очередь, стек, дек. Последовательный и бинарный поиск. Алгоритмы сортировки одномерного массива и оценка сложности. Представление графов в виде матрицы смежности и матрицы инцидентности, алгоритмы на графах. 7. Теория алгоритмов (а) Понятия алгоритма и сложности алгоритма. (b) Простые структуры данных: массив, список, очередь, стек, дек. (с) Последовательный и бинарный поиск. (d) Алгоритмы сортировки одномерного массива и оценка их сложности. 8. Программирование (а) Стандартные типы данных. (b) Описание переменных, типов, констант, меток, подпрограмм. (с) Описание и применение одномерных и двумерных массивов данных. (d) Циклы. (е) Условные выражения. (f) Функции. (g) Основы объектно-ориентированного программирования. (h) Обработка файлов. 9. Основы анализа данных в Python (а) Базовый функционал библиотек Numpy и Pandas (b) Извлечение данных (с) Визуализации данных (matplotlib)